Perkalian Vektor

Posted by : mio Jumat, 26 Oktober 2012

Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (obyek yang dikalikan) berupa vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product) dan perkalian langsung (direct product).

Perkalian titik (dot Product)

Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

$\! \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})$

$= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \!$

Contoh :

A̅ . B̅ = (2î + 4ĵ - 3ẑ ). (4î + ĵ + 2ẑ )

= (2î . 4î) + (4ĵ . ĵ ) + ( (-3)ẑ . 2ẑ )

= 8 + 4 – 6

= 6

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$

$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$

$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$

dan

$\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0$

$\hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = 0$

$\hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta kronecker $\!\delta_{mn}$ , yaitu

$\hat{m} \cdot \hat{n} = \delta_{mn}$

Perkalian silang (cross product)

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

$\vec{A} \times \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \times (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})$

$= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{k}$

Contoh :

mirip dengan perkalian metrik

A̅ = 2î + 4ĵ - 3ẑ
B̅ = 4î + ĵ + 2ẑ

A̅ x B̅ = ( 4.2 - (-3)1)î + ( (-3).4 - 2.2)ĵ + ( 2.1 - 4.4)k̂
= 11î - 16ĵ - 6k̂

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$